エックスサーバーのメール環境でIMAPの送信メールを共有しようとした場合、初期の設定では受信メールの共有ができるのみで、送信メールは共有されません。
送信メールも共有する場合は個別の変更が必要となります。その方法についてご案内いたします。

1. メールソフトにIMAPの設定を入れます。（方法は割愛します）
2. WEBメールにログインします。
   ログイン画面：https://webmail.xserver.ne.jp/　ユーザー名：メールアドレス　パスワード：メールパスワード

3. 画面右上「設定」をクリック

4. 「返信したメッセージを元のメールと同じフォルダに保存」にチェックを追加

5. 画面右下の「保存」ボタンをクリックします。

6. 送信メールが見れるようになります。

参考　https://www.xfree.ne.jp/manual/man_tool_webmail.php

メールの作成